O Euclides era foda pra caralho mesmo. Eu estava aqui de boa tomando banho quando me caiu a ficha de que os cinco postulados deles na verdade são propriedades do espaço. Olha só, na forma original eles são assim:

1. Por dois pontos passa um reta.
2. Uma reta sempre pode ser estendida indefinidamente.
3. Dado um ponto e um raio, você pode construir um círculo.
4. Todos os ângulos retos são congruentes.
5. Dado uma reta e um ponto fora dela, você pode construir uma paralela.

O Heath fala que o quarto postulado é esquisito, tinha outras afirmações equivalentes que ele poderia ter usado. Mas ele precisava do quarto nessa formulação exata, senão não tinha como descrever o quinto de forma não-ambígua.

Aí eu fiquei pensando se existem outras maneiras, e achei uma equivalente só com proposições sobre o espaço:

1. O espaço é contínuo.
2. O espaço é infinito.
3. O espaço é métrico.
4. O espaço é invariante a rotações.
5. O espaço tem curvatura zero.

Esses cinco postulados alternativos que eu bolei são equivalentes aos postulados do Euclides, você pode usar esses para provar os dele e vice-versa.

Para mim mostra que o Euclides manjava muito, ele não tinha essas noções modernas sobre o espaço mas achou uma maneira grega de dizer a mesma coisa!